Có 50 người đi dự tiệc, trời mưa nên tất cả đều mang ô và để ở cửa ra vào. Một người bận việc phải về sớm và tiện tay cầm một chiếc ô bất kì. Sau đó những người còn lại cũng lần lượt ra về, họ sẽ lấy ô của mình nếu còn, không thì sẽ cầm một chiếc bất kì.

Hỏi xác suất người về cuối cùng cầm ô của mình là bao nhiêu?

Xem lời giải

Gọi \(P(n)\) là xác suất người cuối cùng cầm ô của mình nếu có \(n\) người.

Nếu người đầu tiên cầm ô

  • của chính mình (xác suất \(\frac{1}{n}\)): tất cả những người về sau sẽ lấy đúng ô. Người cuối cùng cầm đúng ô với xác suất 1.

  • của người thứ 2 (xác suất \(\frac{1}{n}\)): người thứ 2 sẽ lấy một ô bất kì. Ta có bài toán tương tự với \(n\)−1 người. Khi đó, người cuối cùng cầm đúng ô với xác suất \(P(n-1)\).

  • của người thứ \(k\) (xác suất \(\frac{1}{n}\)): người thứ 2 tới người thứ \(k-1\) sẽ cầm đúng ô. Người thứ \(k\) sẽ lấy một ô bất kì và ta lại có bài toán tương tự với \(n-k+1\) người. Khi đó, người cuối cùng cầm đúng ô với xác suất \(P(n-k+1)\).

Tóm lại, ta có:

\begin{align} P(n) = \frac{1}{n} \cdot 1 + \sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{n} \cdot P(k) \end{align}

Dễ thấy \(P(2) = \frac{1}{2}\), suy ra:

\begin{align} P(3) & = \frac{1 + \frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{2} \newline P(4) & = \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{4} = \frac{1}{2} \newline … \newline P(n) & = \frac{1}{2} \newline \end{align}

Với mọi \(n > 1\), \(P(n) = \frac{1}{2}\). Nếu có 50 người, người về cuối cầm ô của mình với xác suất 50%.