Vịt bị cáo đuổi phải trốn dưới hồ. Cáo không biết bơi còn vịt chỉ bay được nếu ở trên bờ. Cáo chạy nhanh gấp 4 lần tốc độ bơi của vịt. Biết rằng hồ hình tròn và ban đầu vịt ở tâm hồ, hỏi có cách nào để vịt bơi lên bờ và bay đi an toàn mà không bị cáo bắt không?
Xem lời giải
Gọi X là tâm điểm hồ hình tròn, \(R\) là bán kính hồ.
Gọi V là vị trí của vịt, C là vị trí của cáo, Y là điểm trên bờ cắt đường thẳng XV. Cách cáo đuổi vịt tối ưu nhất luôn là: với bất kì vị trí V nào của vịt, cáo cũng sẽ chạy thẳng tới điểm Y.
Vì cáo chạy nhanh gấp 4 lần vịt bơi, nếu vịt bơi vòng tròn quanh tâm hồ với bán kính \(\frac{R}{4}\), cả vịt và cáo sẽ đi một vòng với cùng thời gian.
Nếu vịt bơi vòng tròn quanh tâm hồ với bán kính \(\frac{R}{4}-ε\), cáo sẽ đuổi chậm dần. Tới một lúc nào đó, cáo sẽ ở hướng hoàn toàn đối diện với vịt. Nói cách khác, C đối diện với Y qua X.
Khi đó, vịt sẽ bơi thẳng vào bờ về phía Y. Giả sử tốc độ bơi của vịt là \(s\), tốc độ chạy của cáo là \(4s\).
Thời gian vịt bơi vào bờ (bơi đường thẳng từ V tới Y) là
\begin{align} t_v & = \frac{\frac{3}{4}R+ε}{s} \end{align}
Thời gian cáo chạy tới vị trí vịt trên bờ (chạy đường cung từ C tới Y) là
\begin{align} t_c & = \frac{Rπ}{4s} \end{align}
Với \(ε\) đủ nhỏ, ta có \(t_v < t_c\). Khi đó vịt sẽ bơi lên bờ trước khi cáo đuổi kịp và bay đi an toàn.