Có 9 viên bi giống hệt nhau trong đó một là giả, bi giả nhẹ hơn bi thật. Có ba cân đĩa nhưng một cân bị hỏng, cân hỏng cho kết quả hoàn toàn ngẫu nhiên cho mỗi lần cân (có thể đúng, có thể sai, hai lần cân khác nhau có thể cho hai kết quả khác nhau).

Không biết đâu là bi giả và cân nào hỏng, chỉ với đúng 4 lần cân làm sao để tìm ra viên bi giả?

Xem lời giải

Bi được đánh số từ 1 tới 9. Gọi ba cân đĩa là A, B và C. Để ý rằng nếu hai cân khác nhau cùng cho một kết quả thì điều đó là đúng.

Giả sử 9 viên bi xếp thành ba hàng ba cột như sau:
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Lần 1, dùng A cân bi ở hàng 1 và bi ở hàng 2. Theo cân A, bên nào nhẹ hơn thì bi giả ở trong đó. Ngược lại, nếu hai bên bằng nhau thì bi giả ở hàng 3. Không mất tính tổng quát, giả sử hàng 2 có bi giả theo kết quả cân A.

Lần 2, dùng B cân bi ở cột 1 và bi ở cột 2. Tương tự như trên, không mất tính tống quát, giả sử cột 2 có bi giả theo kết quả cân B.

Như vậy,

  • Cả 2 cân A và B đồng ý
    • bi 1, 3, 7, 9 là thật
    • bi 5 có thể là giả
  • Riêng cân A cho rằng
    • bi 4 hoặc 6 có thể là giả
    • bi 2 và 8 là thật
  • Riêng B cho rằng
    • bi 2 hoặc 8 có thể là giả
    • bi 4 và 6 là thật

Lần 3, dùng C cân bi 2, 8 và 4, 6.

  • Nếu hai bên nặng bằng nhau, C cho rằng cả 4 bi 2, 4, 6 và 8 là thật. Như vậy có ít nhất 2 cân tin rằng 4 bi này là thật, suy ra bi 5 là giả.

  • Nếu hai bên chênh nhau, không mất tính tổng quát giả sử cặp bi 2, 8 nhẹ hơn 4, 6. Như vậy, bi 4 và 6 là thật do có 2 cân đồng kết quả. Bi giả chỉ có thể là 2, 5, hoặc 8. Tóm tắt các kết quả cân trước với 3 viên bi này, ta có
    Bi thật Bi giả
    Theo cân A 2 và 8 5
    Theo cân B 8 2 hoặc 5
    Theo cân C 5 2 hoặc 8

    Lần 4, dùng B cân bi 2 và 8.

    • Nếu bi 2 nhẹ hơn, B cho rằng bi 5 và 8 là thật. Vì A cho rằng bi 8 là thật và C cho rằng bi 5 là thật, cả hai bi 5 và 8 là thật. Suy ra bi 2 là giả.
    • Nếu bi 8 nhẹ hơn, tương tự như trên, bi 8 là giả.
    • Nếu bi 2 và 8 bằng nhau, tương tự, bi 5 là giả.